Oscilación Forzada
Apéndice Matemático

El muelle oscilante se caracteriza por la constante elástica D, la masa m y la constante de atenuación Γ. (Γ es una medida de la fuerza de fricción cuando se supone que ésta es proporcional a la velocidad.)
El muelle se excita mediante un movimiento hacia arriba y abajo de su extremo superior, según la fórmula y_E   =   A_E cos (ωt). En ella, y_E representa el desplazamiento de la excitación respecto a la posición media; A_E es la amplitud de oscilación de la excitación, siendo ω la frecuencia angular y t el tiempo.

Se trata de encontrar el valor del desplazamiento del resonador (respecto a su posición media), y, en el instante t. Haciendo ω₀   =   (D/m)^1/2, el problema queda descrito por la siguiente ecuación diferencial:

Al resolver esta ecuación diferencial, hay que distinguir varios casos:

Caso 1: Γ < 2 ω₀

Caso 1.1: Γ < 2 ω₀; Γ ≠ 0   o   ω ≠ ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sin (ω₁t) + B₁ cos (ω₁t)]
ω₁   =   (ω₀² − Γ²/4)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

Caso 1.2: Γ < 2 ω₀; Γ = 0   y   ω = ω₀

y(t)   =   (A_E ω t / 2) sin (ωt)

Caso 2: Γ = 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / (ω₀² + ω²)²
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / (ω₀² + ω²)²
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el)
B₁   =   − A_el

Caso 3: Γ > 2 ω₀

y(t)   =   A_abs sin (ωt) + A_el cos (ωt)   +   e^−Γt/2 [A₁ sinh (ω₁t) + B₁ cosh (ω₁t)]
ω₁   =   (Γ²/4 − ω₀²)^1/2
A_abs   =   A_E ω₀² Γ ω / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A_el   =   A_E ω₀² (ω₀² − ω²) / [(ω₀² − ω²)² + Γ² ω²]
A₁   =   − (A_abs ω + (Γ/2) A_el) / ω₁
B₁   =   − A_el

URL: https://www.walter-fendt.de/html5/phes/resonance_math_es.htm
Walter Fendt, 9 Septiembre 1998
Traducción: Juan Muñoz, 9 Marzo 1999
Última modificación: 17 Marzo 2010

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